O $(()) o $[] funzionerà per calcolare il risultato di un'operazione aritmetica. Stai usando $() che sta semplicemente prendendo la stringa e valutandola come comando. È una distinzione un po' sottile. Spero che questo aiuti.
Come ha sottolineato tink nei commenti a questa risposta, $[] è deprecato e $(()) dovrebbe essere favorito.
Trovo molto pulito usare la variabile interna "$SECONDS"
SECONDS=0 ; sleep 10 ; echo $SECONDS