Questo è vecchio... ma ho passato lo stesso dolore ed ecco la mia soluzione.
Come puoi vedere, il registro è un avviso, non un errore bloccante:
nginx: [alert] could not open error log file: open() "/var/log/nginx/error.log" failed (13: Permission denied)
Non dovrebbe essere un problema :) A Nginx piace solo controllare quel file all'avvio...
Basta usare -p opzione. Qualcosa di simile per lanciare Nginx localmente funziona per me:
nginx -c /etc/nginx/nginx.conf -g 'daemon off;' -p /home/Foo/log/nginx
Potrebbe essere necessario attivarlo con sudo
sudo nginx -t